计算机视觉——摄像机参数矩阵

视觉github:https://github.com/g107904/Computer_Vision_task

三维点的投影:
(X,Y,Z) \rightarrow (u_{ccd},v_{ccd}) = (f_m \frac{X}{Z},f_m \frac{Y}{Z})
像素空间中,
u_{img} = u_{ccd} \frac{w_{img}}{w_{ccd}}+P_{x} = f_m \frac{w_{img}}{w_{ccd}} \frac{X}{Z} + P_{x},v_{img} = v_{ccd} \frac{h_{img}}{h_{ccd}}+P_{y} = f_m \frac{h_{img}}{h_{ccd}} \frac{Y}{Z} + P_{y}
齐次坐标:(x,y) \rightarrow \lambda (x,y,1)
二维欧几里得空间中的点可以通过齐次坐标的方式表示成透视空间中的一个点 .
好处:方便表达。
f_x = f_m \frac{w_{img}}{w_{ccd}} , f_y = f_m \frac{h_{img}}{h_{ccd}}
则有,

    \[\lambda \begin{bmatrix} u_{img} \\ v_{img} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_x &  & P_x \\  & f_y & P_y \\ & & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix}\]

\begin{bmatrix} f_x &  & P_x \\  & f_y & P_y \\ & & 1 \end{bmatrix}为内参矩阵,它是从测度空间到像素空间的转换矩阵,记为K。
• 主平面:过摄像机中心且平行于投影平面
• 主方向:垂直于主平面的方向
• 主轴:过摄像机中心且沿着主方向的直线
• 主点:主轴与成像平面的交点
世界坐标系:系统的绝对坐标系。
转换到摄像机坐标系:X_c = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix} X = R X,R的自由度为3,其中,
R R^T = I,det(R) = 1
r_x = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13}  \end{bmatrix} 是世界坐标系中的摄像机x轴。
r_y = \begin{bmatrix} r_{21} & r_{22} & r_{23}  \end{bmatrix} 是世界坐标系中的摄像机y轴。
r_z = \begin{bmatrix} r_{31} & r_{32} & r_{33}  \end{bmatrix} 是世界坐标系中的摄像机z轴。
r_z = r_x \times r_y
r_1 = \begin{bmatrix} r_{11} \\ r_{21} \\ r_{31}  \end{bmatrix} 是摄像机坐标中的世界坐标的x轴。
r_2 = \begin{bmatrix} r_{12} \\ r_{22} \\ r_{32}  \end{bmatrix} 是摄像机坐标中的世界坐标的x轴。
r_3 = \begin{bmatrix} r_{13} \\ r_{23} \\ r_{33}  \end{bmatrix} 是摄像机坐标中的世界坐标的x轴。
r_3 = r_1 \times r_2
欧几里得变换=三维旋转+平移:

    \[X_c = R X + t  = \begin{bmatrix} R & t \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} & t_x \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} & t_y \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} & t_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ 1 \end{bmatrix}\]

t是从摄像机视角看的,世界坐标系到摄像机坐标系的平移
其中,\begin{bmatrix} R & t \end{bmatrix} 称为外部参数。
畸变模型L:
径向畸变模型:镜头的畸变是距离主点距离的一个函数

    \[\left\{ \begin{aligned}              u_{distorted} = L(\rho) u_{undistorted},  &    \rho = ||u_{undistorted}||,L(\rho) = 1+k_1 \rho^2+k_2 \rho^4 + ... \\                v_{distorted} = L(\rho) v_{undistorted},  &    \rho = ||v_{undistorted}||,L(\rho) = 1+k_1 \rho^2+k_2 \rho^4 + ...  \end{aligned} \right.\]

总的来说,

    \[\begin{bmatrix} x \\ 1 \end{bmatrix} = L (  K \begin{bmatrix} R & t \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ 1\end{bmatrix})\]

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